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制御工学の勉強メモ。バネ・マス・ダンパ系の質点の運動方程式から、伝達関数／状態空間モデルを求めて、制御系のPythonライブラリ「$$ m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = f(t)$$$\ddot{y}(t)$ は加速度、$\dot{y}(t)$ は速度、$y(t)$ は変位。$m$ は質量、$c$ は減衰係数、$k$ はバネ定数である（いずれも物理定数なので非負の値）。力 $f(t)$ をシステムに対する$$ ms^2Y(s) + c sY(s) + kY(s) = F(s)$$$$ \big(ms^2+c s + k\big) Y(s) = F(s)$$$$ G(s) = \frac{Y(s)}{F(s)} = \frac{1}{m s^2 + c s + k}$$ Python の 状態空間モデルでは、複数の観測量（出力）を設定できる。また、任意の初期値で計算が可能である。システムを、次のような状態空間モデル $\mathcal{P}$ にモデル化する。準備として、運動方程式を $\ddot{y}(t)=...$ に変形しておく。$$ m\ddot{y}(t) + c\dot{y}(t) + ky(t) = f(t)$$$$ m\ddot{y}(t) = - ky(t) - c\dot{y}(t) + f(t)$$$$ \ddot{y}(t) = - \frac{k}{m}y(t) - \frac{c}{m} \dot{y}(t) +\frac{1}{m} f(t)$$$x_1(t)=y(t)$、$x_2(t)=\dot{y}(t)$ として、これより、$\dot{x}_1(t)=\dot{y}(t)=x_2$ となる。また、$\dot{x}_2(t)=\ddot{y}(t)= - \frac{k}{m}y(t) - \frac{c}{m} \dot{y}(t) +\frac{1}{m} f(t)$ となる。力 $f(t)$ を、入力 $u(t)$ とすれば、以上より、次の$$\dot{\boldsymbol{x}} また、次の$$yただし、$\mathbf{D}=0$。状態空間モデルで、実行結果は次のようになります。 f. t. で任意の状態. この式を逆ラプラス変換すると状態方程式と出力方程式になります。 状態空間モデルから伝達関数への変換. 制御工学の勉強メモ。第2弾。 前回は、バネ・マス・ダンパ系の質点の運動方程式から、伝達関数／状態空間モデルを求めて、制御系のPythonライブラリ「Python Control Systems Library」を使ってシミュレーションをしました。. 概要. 伝達関数とブロック線図 LTIオブジェクト ステップ応答，インパルス応答，周波数応答，ボード線図 システムの結合と安定性 Simulinkによる時間応答シミュレーション PIDコントローラ 現代制御系設計 状態方程式と非線形システムの線形化 状態フィードバック 48 0 obj<>
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質量‐ばね‐ダンパーシステムの状態空間モデルにおける行列およびベクトルは、 <<3068b7c9b6c824438c90a98b91b1a711>]>>
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質量‐ばね‐ダンパーシステムの状態空間モデルにおける行列およびベクトルは、
この式を逆ラプラス変換すると状態方程式と出力方程式になります。 状態空間モデルから伝達関数への変換.
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MIMO系の状態空間モデル（状態方程式）から伝達関数を求める方法を紹介します。 今回もMIMOシステムの例として2質量系モデルを扱います。 このMIMO系モデルの状態空間モデルについては、このモデルの伝達関数をラプラス変換を用いて求める方法は、 $$ G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \boldsymbol{ C } \left( s \boldsymbol{ I } – \boldsymbol{ A } \right)^{-1} \boldsymbol{ B } + D $$と表すことが出来ると紹介しました。 このSISO系で用いた関係式はMIMO系でも同様に用いることが出来ます。 今回扱っている2質量システムの状態空間モデルの各行列は、$$ \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ – \frac{k_1+k_2}{m_1} & – \frac{c_1+c_2}{m_1} & \frac{k_2}{m_1} & \frac{c_2}{m_1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{k_2}{m_2} & \frac{c_2}{m_2} & – \frac{k_2}{m_2} & – \frac{c_2}{m_2} \end{bmatrix} $$$$ \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \frac{1}{m_1} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_2} \end{bmatrix} $$$$ \boldsymbol{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$$$ \boldsymbol{D} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$となります。 今回の2質量モデルは、2入力2出力システムなので、算出した伝達関数は\(2 \times 2\)の行列になります。 実際に値を入れて計算していきます。$$ \boldsymbol{G(s)} = \frac{\boldsymbol{Y(s)}}{\boldsymbol{U(s)}} = \boldsymbol{ C } \left( s \boldsymbol{ I } – \boldsymbol{ A } \right)^{-1} \boldsymbol{ B } + \boldsymbol{ D } $$$$ = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \left( s \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} – \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ – \frac{k_1+k_2}{m_1} & – \frac{c_1+c_2}{m_1} & \frac{k_2}{m_1} & \frac{c_2}{m_1} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{k_2}{m_2} & \frac{c_2}{m_2} & – \frac{k_2}{m_2} & – \frac{c_2}{m_2} \end{bmatrix} \right)^{-1} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \frac{1}{m_1} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$$$ = \begin{bmatrix} \frac{m_2 s^2 + c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2 \left( c_2 s + k_2 \right) } & \frac{c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2 \left( c_2 s + k_2 \right) } \\ \frac{c_2 s + k_2}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2 \left( c_2 s + k_2 \right) } & \frac{m_1 s^2 + \left(c_1+c_2\right) s + \left(k_1+k_2\right)}{ \left( m_1 s^2 + c_1 s + k_1 \right) \left( m_2 s^2 + c_2 s + k_2 \right) + m_2 s^2 \left( c_2 s + k_2 \right) } \end{bmatrix} $$ この伝達関数行列は、 今回は状態空間モデル（状態方程式）から伝達関数を求める方法を紹介しました。 すでに状態空間モデルが分かっている場合には、システムの伝達関数は行列計算で求めることが出来ます。伝達関数でMIMOシステム（2質量系）を表す質量-ばねシステムの振動を求める
H��W˪�F��WhiF�~w�0��cC !�3^H-�`pBr����n���e�����S����?U��������rэj.�A�6ņ�S�4�V�&��\7�o�\�=P���x�kC����FQ�[��35�|9PK�pf�_��O'�������hSj���(�H�(+Kq�d�%�4�a������Ο/���}K�1���ʇ7����0
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状態方程式と非線形システムの線形化(5) 線形システムの応答解析(p.35) 線形化した式を用いて，入力にいろいろな信号を入れたときの応答波形を確認します． (1)制御系を線形化した式をラプラス変換して伝達関数を求めます． n 次元 m 入力 r 出力線形時不変システム. 伝達関数の分子係数。ベクトルまたは行列として返されます。p 個の入力と q 個の出力から成るシステムが n 個の状態変数で表される場合、各入力に対する b は q 行 (n+1) 列になります。係数は s または z の降べきの順に返されます。 制御工学の勉強メモ。バネ・マス・ダンパ系の質点の運動方程式から、伝達関数／状態空間モデルを求めて、制御系のPythonライブラリ「Python Control Systems Library」を使ってシミュレーションをします。 関連エントリ：RLC直列回路の伝達関数・状態空間モデルとPythonによるシミュレーション
最後に，状態空間表現から伝達関数行列表現（8章の(8.2)式を参照。）を求めるには，コマンド ss2tf を用いる。 たとえば，上のむだ時間を2次系として近似したときの状態空間表現 sys2 の伝達関数を求めるには，コマンド ss2tf(sys2) を与えればよい。 x (0)から有限の時間. 状態方程式，出力方程式が以下で表される. @ߓ��+�����
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2－2 状態方程式と伝達関数の関係 ... (注： Matlab関数tf と ss はそれぞれ2通りの使い方がある.) ���d`�u�6C���釬�$�q
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今回は状態空間モデル（状態方程式）から伝達関数を求める方法を紹介しました。 すでに状態空間モデルが分かっている場合には、システムの伝達関数は行列計算で求めることが出来ます。 2－2 状態方程式と伝達関数の関係 ... (注： Matlab関数tf と ss はそれぞれ2通りの使い方がある.)
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